Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于點O，連結AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮聰明才智，解決以下問題：

（1）在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系，并說明理由；

（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數有 個；

（3）在圖2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N利用（1）的結論，試求∠P的度數；

（4）在圖3中，如果∠B和∠C為任意角，并且AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線，即∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BOD，那么∠P與∠C、∠B之間存在的數量關系是 （直接寫出結論即可）．

 

Answer 1

（1）∠A+∠C=∠B+∠D；（2）6個；（3）78°；（4）∠B+∠C

【解析】

試題分析：（1）根據對頂角相等和三角形內角和定理可得解；

（2）根據“8字形”的結構特點，根據交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；

（3）在圖2中，由∠C=80°，∠B=76°，可求∠P的度數；

（4）由（3）中的結論可得解.

試題解析：（1）在△AOC中，∠AOC=180°-∠A-∠C，

在△DOB中，∠BOD=180°-∠D-∠B，

∵∠AOC=∠BOD

∴180°-∠A-∠C=180°-∠D-∠B

∴∠A+∠C=∠B+∠D

（2）交點有點M、N各有1個，交點O有4個，所以，“8字形”圖形共有6個；

（3）∵∠B＝76°，∠C＝80°，

∴∠OAC+80°=∠ODB+76°，

∴∠ODB-∠OAC =4°，

∵AP、DP分別是∠CAO、∠BDO的角平分線

∴∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

又∵∠CAM+∠C=∠PDO+∠P

∴∠P=∠CAM+∠C-∠PDO=(∠CAO-∠BDO)+∠C=-2°+80°=78°

（4）由（3）可知∠P=∠CAM+∠C-∠PDO，

當AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線時，則有

∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

∴∠P=(∠CAO-∠BDO)+∠C,

又∵由（3）知∠CAO-∠BDO=∠B-∠C

∴∠P=∠B-∠C+∠C=∠B+∠C

考點：1.三角形內角和定理；2.對頂角相等