Question

【題目】如圖，O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（　 　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

連結OA、OB，如圖1，由OA=OB=AB=1可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，根據圓周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因為AB=1，則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°，可根據圓周角定理判斷點C在⊙D上，且∠ADB=120°，如圖2，于是當點C優弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．

解：連結OA、OB，作△ABC的外接圓D，如圖1，

∵OA=OB=1，AB=1，

∴△OAB為等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠APB=∠AOB=30°，

∵AC⊥AP，

∴∠C=60°，

∵AB=1，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，

∵∠ACB=60°，點C在⊙D上，

∴∠ADB=120°，

如圖2，

當點C優弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為，

∴△ABC的最大面積為．

故選D．