Question

【題目】閱讀理解:

（問題情境）

教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？

（探索新知）

從面積的角度思考，不難發現：大正方形的面積＝小正方形的面積 + 4個直角三角形的面積，從而得數學等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）化簡證得勾股定理：

（初步運用）

（1）如圖1，若b=2a ，則小正方形面積：大正方形面積＝ ；

（2）現將圖1中上方的兩直角三角形向內折疊，如圖2，若a= 4，b= 6此時空白部分的面積為 ；

（遷移運用）

如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖3的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發現含60°的三角形三邊a、b、c之間的關系，寫出此等量關系式及其推導過程.

知識補充：如圖4，含60°的直角三角形，對邊y ：斜邊x＝定值k

Answer 1

【答案】[探索新知]：；[初步運用]：（1）5：9；（2）28； [遷移運用] ：，證明詳見解析.

【解析】

[探索新知]

分別表示出大正方形，小正方形，直角三角形面積，再由面積關系可得關系式；

[初步運用]

（1）將b=2a代入可推出，即小正方形面積為

大正方形面積=，可求出比值；

（2）空白部分面積為小正方形面積減去2個直角三角形面積；

[遷移運用]

大正三角形面積=三個全等三角形面積+小正三角形面積，分別求出面積代入關系式化簡即可.

[探索新知]

大正方形邊長為，所以面積＝，小正方形的邊長為，所以面積=,

直角三角形的面積=,由大正方形的面積＝小正方形的面積 + 4個直角三角形的面積可得

[初步運用]

（1）將b=2a代入得，∴，即小正方形面積為

大正方形面積=，

∴ 小正方形面積：大正方形面積＝：=5:9

（2）∵a= 4，b= 6

∴小正方形面積=，直角三角形面積=

∴空白部分面積=小正方形面積－兩個直角三角形面積=

[遷移運用]

由補充知識可得大正三角形的高為，小正三角形的高為，全等三角形的高為，則由大正三角形面積=三個全等三角形面積+小正三角形面積可得

∴