Question

【題目】如圖1，經過原點O的拋物線與x軸交于另一點，在第一象限內與直線交于點．

求這條拋物線的表達式；

在第四象限內的拋物線上有一點C，滿足以B，O，C為頂點的三角形的面積為2，求點C的坐標；

如圖2，若點M在這條拋物線上，且，

求點M的坐標；

在的條件下，是否存在點P，使得∽？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）；（3）；存在滿足條件的點P，其坐標為或

【解析】

由直線解析式可求得B點坐標，由A、B坐標，利用待定系數法可求得拋物線的表達式；

過C作軸，交x軸于點E，交OB于點D，過B作于點F，可設出C點坐標，利用C點坐標可表示出CD的長，從而可表示出的面積，由條件可得到關于C點坐標的方程，可求得C點坐標；

（3）①設MB交y軸于點N，則可證得≌，可求得N點坐標，可求得直線BN的解析式，聯立直線BM與拋物線解析式可求得M點坐標；

②過M作軸于點G，由B、C的坐標可求得OB和OC的長，由相似三角形的性質可求得的值，當點P在第一象限內時，過P作軸于點H，由條件可證得∽，由的值，可求得PH和OH，可求得P點坐標；當P點在第三象限時，同理可求得P點坐標．

解：在直線上，

，

，

把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得，

解得，

拋物線解析式為；

如圖1，過C作軸，交x軸于點E，交OB于點D，過B作于點F，

點C是拋物線上第四象限的點，

可設，則，，

，，，

，

的面積為2，

，解得，

；

（3）①設MB交y軸于點N，如圖2，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

可設直線BN解析式為，

把B點坐標代入可得，解得，

直線BN的解析式為，

聯立直線BN和拋物線解析式可得，

解得或，

，

②，

，且，

，，

∽，

，，

當點P在第一象限時，如圖3，過M作軸于點G，過P作軸于點H，

，

，且，

∽，

，

，

，，

，，

；

當點P在第三象限時，如圖4，過M作軸于點G，過P作軸于點H，

同理可求得，，

；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為或