Question

如圖，四邊形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB為直徑的半⊙O 切CD于點E，F為弧BE上一動點，過F點的直線MN為半⊙O的切線，MN交BC于M，交CD于N，則△MCN的周長為（　　）

• A、9
• B、10
• C、3

  11

• D、2

  23

Answer 1

考點：切線長定理

專題：計算題

分析：作DH⊥BC于H，如圖，利用平行線的性質得AB⊥AD，AB⊥BC，則根據切線的判定得到AD和BC為⊙O切線，根據切線長定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四邊形ABHD為矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，設BC=x，則CH=x-2，CD=x+2，在Rt△DCH中根據勾股定理得（x-2）²+6²=（x+2）²，解得x=

9

2

，即CB=CE=

9

2

，然后由等線段代換得到△MCN的周長=CE+CB=9．

解答：解：作DH⊥BC于H，如圖，
∵四邊形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB為直徑，
∴AD和BC為⊙O 切線，
∵CD和MN為⊙O 切線，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四邊形ABHD為矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
設BC=x，則CH=x-2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH²+DH²=DC²，
∴（x-2）²+6²=（x+2）²，解得x=

9

2

，
∴CB=CE=

9

2

，
∴△MCN的周長=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故選A．

點評：本題考查了切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．也考查了勾股定理．