Question

【題目】如圖，以x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），作直線(xiàn)AC．

（1）求拋物線(xiàn)解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且到直線(xiàn)AC和x軸的距離相等，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，求m的值；

（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)Q為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的值為1或﹣4；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）或（， ）．

【解析】

（1）先利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得到A（3，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；

（2）先利用待定系數(shù)法其出直線(xiàn)AC的解析式為y=﹣x+4；令對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，作PH⊥AD于H，如圖1，易得D（1，），利用勾股定理計(jì)算出AD=，設(shè)P（1，m），則PD=﹣m，PH=PE=|m|，證明△DPH∽△DAE，利用相似比得到，然后解方程可得到m的值；

（3）設(shè)Q（t，﹣x2+x+4）（0＜t＜4），討論：當(dāng)CM為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形CQMN為菱形，如圖2，根據(jù)菱形的性質(zhì)判定點(diǎn)N和Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則N（﹣t，﹣x2+x+4），然后把N（﹣t，﹣x2+x+4）代入y=﹣x+4得t的方程，從而解方程求出t得到此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)CM為菱形的邊時(shí)，四邊形CNQM為菱形，如圖3，利用菱形的性質(zhì)得NQ∥y軸，NQ=NC，則N（t，﹣t+4），所以NQ=﹣t2+4t，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出CN=t，所以﹣t2+4t=t，從而解方程求出t得到此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B（﹣1，0）關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，

∴A（3，0），

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，4）代入得a1（﹣3）=4，解得a=﹣，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+x+4；

（2）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+p，

把A（3，0），C（0，4）代入得，解得，

∴直線(xiàn)AC的解析式為y=﹣x+4；

令對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，作PH⊥AD于H，如圖1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣x+4=，則D（1，），

∴DE=，

在Rt△ADE中，AD==，

設(shè)P（1，m），則PD=﹣m，PH=PE=|m|，

∵∠PDH=∠ADE，

∴△DPH∽△DAE，

∴，即，解得m=1或m=﹣4，

即m的值為1或﹣4；

（3）設(shè)Q（t，﹣t2+t+4）（0＜t＜4），

當(dāng)CM為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形CQMN為菱形，如圖2，則點(diǎn)N和Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴N（﹣t，﹣ t2+t+4），

把N（﹣t，﹣t2+t+4）代入y=﹣x+4得t+4=﹣t2+t+4，解得t1=0（舍去），t2=1，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；

當(dāng)CM為菱形的邊時(shí)，四邊形CNQM為菱形，如圖3，則NQ∥y軸，NQ=NC，

∴N（t，﹣t+4），

∴NQ=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，

而CN2=t2+（﹣t+4﹣4）2=t2，即CN=t，

∴﹣t2+4t=t，解得t1=0（舍去），t2=，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）或（，）．