Question

【題目】（初步探索）

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．

（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系；

（靈活運用）

（2）如圖2，△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為BC邊上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°．求證：CD＋CE＝CA；

（延伸拓展）

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，滿足EF＝BE＋FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）DA=DC+DB，證明見詳解；（2）見詳解；（3）∠EAF=，證明見詳解.

【解析】

（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；

（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC為等邊三角形，易得△CDM是等邊三角形，繼而可證得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，則可證得CD+CE=CA；

（3）在DC延長線上取一點G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，進而推導得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結論．

（1）如圖1，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，

即DA=DC+DB；

（2）證明：在AC上截取CM=CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴△CDM是等邊三角形，

∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，

∴∠AMD=120°，

∵∠ADE=60°，

∴∠ADE=∠MDC，

∴∠ADM=∠EDC，

∵直線a∥AB，

∴∠ACE=∠BAC=60°，

∴∠DCE=120°=∠AMD，

在△ADM和△EDC中，

∴△ADM≌△EDC(ASA)，

∴AM=EC，

∴CA=CM+AM=CD+CE；

即CD+CE=CA.

（3）∠EAF=；

證明：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG=BE，連接AG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，

∴∠ADC=∠ABE，

又∵AB=AD，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠FAE=∠FAG，

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，

即2∠FAE+∠DAB=360°，

∴∠EAF=.