Question

【題目】如圖1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α．

（1）求證：BE=AD；

（2）當α=90°時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖②，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）△CPQ為等腰直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）易證△ACD≌△BCE，即可求證；

（2）先證明△ACP≌△BCQ，得CP=CQ,∠ACP=∠BCQ,再由∠ACB=90°，得出△PCQ為等腰直角三角形.

（1）如圖1，∵∠ACB=∠DCE=α，

∴∠ACD=∠BCE，

又CA=CB，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴BE=AD；

（2）△CPQ為等腰直角三角形，

證明如圖2，由（1）得BE=AD，

∵AD，BE的中點分別為點P、Q，

∴AP=BQ

∵△ACD≌△BCE

∴∠CAP=∠CBQ,

在△ACP和△BCQ中

∴△ACP≌△BCQ（SAS）

∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ

又∵∠ACP+∠PCB=90°，

∴∠BCQ+∠PCB=90°，

∴∠PCQ=90°，

∴△CPQ為等腰直角三角形.