Question

【題目】如圖，一次函數與反比例函數相交于、兩點，與軸，軸分別交于、兩點，已知，的面積為.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式；

（2）連接，，點是線段的中點，直線向上平移個單位將的面積分成兩部分，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）根據一函數解析式求得OC的長，在Rt△OCD中，利用三角函數與勾股定理求得OD的長，即D點坐標，然后代入一次函數解析式求得k的值，即可得到一次函數解析式，再根據△BOD的面積求得B點縱坐標，代入一次函數得到B點坐標，然后代入反比例函數即可得解；

（2）先聯立方程求得M點坐標，再設向上平移個單位得到的直線l′為：y=﹣x+h，并設l′與線段AB交于點E，與線段OA交于點F.由題意可知：S△AEF：S△AOB=1:8，即S△AEF：S△AOM=1:4，得到E為AM中點，再將E點坐標代入y=﹣x+h求得h的值即可.

解：（1）令x=0，則y=1，

∴直線與y軸的交點C（0,1），

∴OC=1，

在Rt△OCD中，

∵，

∴CD==，

∴OD==2，

∴D（﹣2,0），

把D（﹣2,0）代入函數，解得：k=，

∴一次函數的解析式為：，

又∵S△BOD=·OD·∣yB∣=1，

∴yB=﹣1，

把yB=﹣1代入一次函數得：xB=﹣4，

∴B（﹣4，﹣1），

把B（﹣4，﹣1）代入函數，解得：m=4，

∴反比例函數的解析式為：；

（2）聯立，

解得：或，

∴A（2,2），B（﹣4，﹣1），

∴M（﹣1，），

∴直線OM的解析式為：y=﹣x，

設向上平移個單位得到的直線l′為：y=﹣x+h，并設l′與線段AB交于點E，與線段OA交于點F.由題意可知：S△AEF：S△AOB=1:8，

∴S△AEF：S△AOM=1:4，

又∵l′與OM平行，

∴E是線段AM的中點，

∴E（，），

把E（，）代入y=﹣x+h得：=﹣×+h，

∴h=.