Question

【題目】如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延長CA至點E，使AE=AC；延長CB至點F，使BF=BC．連接AD，AF，DF，EF．延長DB交EF于點N．

（1）求證：AD=AF；

（2）求證：BD=EF；

（3）試判斷四邊形ABNE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）四邊形ABNE是正方形，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=45°，求得∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，再證得BF=CD，由SAS證明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，證出∠EAF=∠BAD，由SAS證明△AEF≌△ABD，得出對應邊相等即可；（3）由全等三角形的性質得出得出∠AEF=∠ABD=90°，證出四邊形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四邊形ABNE是正方形．

試題解析：(1)證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABF=135°，

∵∠BCD=90°，

∴∠ABF=∠ACD，

∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（SAS），

∴AD=AF；

（2）證明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，

∴∠FAB=∠DAC，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠BAC=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

在△AEF和△ABD中，

，

∴△AEF≌△ABD（SAS），

∴BD=EF；

（3）解：四邊形ABNE是正方形；理由如下：

∵CD=CB，∠BCD=90°，

∴∠CBD=45°，

由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，

∴∠AEF=∠ABD=90°，

∴四邊形ABNE是矩形，

又∵AE=AB，

∴四邊形ABNE是正方形．