Question

【題目】如圖，已知∠DAC＝90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點（點P與點A不重合），連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連接QB并延長交直線AD于E．

（1）如圖1，猜想∠QEP＝　 　；

（2）如圖2，若當∠DAC是銳角時，其他條件不變，猜想∠QEP的度數，并證明；

（3）如圖3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）∠QEP＝60°．證明見解析；（3）BQ＝3﹣3．

【解析】

（1）如圖1，先根據旋轉的性質和等邊三角形的性質得出∠PCA=∠QCB，進而可利用SAS證明△CQB≌△CPA，進而得∠CQB=∠CPA，再在△PEM和△CQM中利用三角形的內角和定理即可求得∠QEP=∠QCP，從而完成猜想；

（2）以∠DAC是銳角為例，如圖2，仿（1）的證明思路利用SAS證明△ACP≌△BCQ，可得∠APC=∠Q，進一步即可證得結論；

（3）仿（2）可證明△ACP≌△BCQ，于是AP=BQ，再求出AP的長即可，作CH⊥AD于H，如圖3，易證∠APC=30°，△ACH為等腰直角三角形，由AC=4可求得CH、PH的長，于是AP可得，問題即得解決．

解：(1)∠QEP=60°；

證明：連接PQ，如圖1，由題意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠PCA=∠QCB，

則在△CPA和△CQB中，

，

∴△CQB≌△CPA(SAS)，

∴∠CQB=∠CPA，

又因為△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，

∴∠QEP=∠QCP=60°．

故答案為：60°；

(2)∠QEP=60°．

證明：如圖2，∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∵線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，

∴CP=CQ，∠PCQ=60°，

∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，

即∠ACP=∠BCQ，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，

∴∠APC=∠Q，

∵∠1=∠2，

∴∠QEP=∠PCQ=60°；

(3)連結CQ，作CH⊥AD于H，如圖3，

與(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，

∴∠APC=30°，∠CAH=45°，

∴△ACH為等腰直角三角形，

∴AH=CH=AC=×4=，

在Rt△PHC中，PH=CH=，

∴PA=PHAH=－，

∴BQ=－．