Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=60°，過對角線BD的中點O的直線GH分別交AD、BC于點E、F，交BA的延長線于點G，交DC的延長線于點H，連結GD、BH，則下列結論：①AG=CH，②DE+CF=5，③S_{四邊形ABFE}=3$\sqrt{3}$，④四邊形BGDH為平行四邊形．其中正確的有（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用平行四邊形的性質得出AB∥CD即可得出∠OBG=∠ODH，進而得出△BOG≌△DOH即可判斷出①正確；
進而判斷出④正確，同①的方法判斷出△AEG≌△CFH，進而得出AE=CF，即可求出DE+CF=4，即可得出②錯誤；利用平行四邊形的面積公式求出平行四邊形ABCD的面積，再判斷出S_{四邊形ABFE}=S_{四邊形CDEF}即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BGO=∠DHO，∠OBG=∠ODH，
∵O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，
∴OB=OD，
在△BOG和△DOH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGO=∠DHO}\\{∠OBG=∠ODH}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△DOH，
∴BG=DH，
∴AG=CH，所以①正確；
∵BG=DH，BG∥DH，
∴四邊形BGDH為平行四邊形，所以④正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠∠AEG=∠BFG，
∵∠BFG=∠CFH，
∴∠AEG=∠CFH，
在△AEG和△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠CFH}\\{∠AGE=∠CHF}\\{AG=CH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CFH，
∴AE=CF，
∴DE+CF=DE+AE=AD=BC=4，所以②錯誤；
過點A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，∠ABC=60°，AB=3，
∴AM=ABsin∠ABC=3×sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC×AM=4×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∵△BOG≌△DOH，△AEG≌△CFH，
∴S_{四邊形ABOE}=S_{四邊形CDOF}，
易證：△BOF≌△DOE，
∴S_△BOF=S_△DOE，
∴S_{四邊形ABFE}=S_{四邊形CDEF}=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，所以③正確；
即：正確的有①③④，
故選B．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，解本題的關鍵是判斷出△BOG≌△DOH和△AEG≌△CFH．