Question

【題目】已知拋物線y=ax2﹣2anx+an2+n+3的頂點P在一條定直線l上．

（1）直接寫出直線l的解析式；

（2）對于任意非零實數a，存在確定的n的值，使拋物線與x軸有唯一的公共點，求此時n的值；

（3）當點P在x軸上時，拋物線與直線l的另一個交點Q，過點Q作x軸的平行線，交拋物線于點A，過點Q作y軸的平行線，交x軸于點B，求的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3；（2）﹣3；（3）2

【解析】

（1）先把拋物線解析式化成頂點式，確定出頂點坐標，即可得出結論；

（2）令拋物線中的y=0用一元二次方程根的判別式即可得出結論；

（3）先確定出n的值，進而得出點Q的坐標，即可確定出點A，B坐標，最后確定出AQ，BQ，即可得到結論．

（1）∵拋物線y=ax2﹣2anx+an2+n+3=a（x﹣n）2+（n+3），∴拋物線P（n，n+3）．

∵頂點P在一條定直線l上，令n=x，n+3=y，∴y=x+3，即：直線l的解析式為y=x+3；

（2）拋物線與x軸有唯一的公共點，令y=0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3=0，∴△=（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）=﹣4a（n+3）=0．

∵任意非零實數a，∴n+3=0，∴n=﹣3，∴拋物線與x軸有唯一的公共點，此時n的值為﹣3；

（3）由（1）知，P（n，n+3）．

∵點P在x軸上，∴n+3=0，∴n=﹣3，∴拋物線y=a（x+3）2，①

∵直線l的解析式為y=x+3②，聯立①②得Q（﹣3+）．

∵過點Q作y軸的平行線，交x軸于點B，∴BQ=||．

∵過點Q作x軸的平行線，交拋物線于點A，∴a（x+3）2=，∴x=﹣3±，∴A（﹣3﹣）．

∵Q（﹣3+），∴AQ=|﹣3+﹣（﹣3﹣）|=||，∴=2．