Question

【題目】某商品現在的售價為每件60元，每個星期可賣出300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每個星期要少賣出10件；每降價1元，每個星期可多賣出20件．已知商品進價為每件40元，設每件商品的售價為x元（且x為正整數），每個星期的銷售量為y件．

（1）求y與x的函數關系并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設每星期的銷售利潤為W，請直接寫出W與x的關系式；

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個星期可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；（3）定價為65元時可獲得最大利潤為6250元

【解析】

（1）根據“每漲價1元，每個星期要少賣出10件；每降價1元，每個星期可多賣出20件”列出y與x的函數關系．

（2）設每星期所獲利潤為W，根據一星期利潤等于每件的利潤×銷售量得到W與x的關系式；

（3）把（2）中解析式配成拋物線的頂點式，利用拋物線的最值問題即可得到答案．

（1）根據題意得：漲價時，y=300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），降價時，y=300+20（60﹣x）（40≤x＜60），整理得：；

（2）當漲價時，y=（x﹣40）（﹣10x+900）（60≤x≤90），當降價時，y=（x﹣40）（﹣20x+1500）（40≤x＜60）；

綜上所述： ；

（3）當漲價時，W=（x﹣40）（﹣10x+900）=﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），當x=65時，W的最大值是6250；

當降價時，W=（x﹣40）（﹣20x+1500）=﹣20（x﹣57.5）2+6125 （40≤x＜60），所以定價為：x=57.5（元）時利潤最大，最大值為6125元．

綜合所述，定價為65元時可獲得最大利潤為6250元．