Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，G為⊙O上一點，連接AG交CD于K，在CD的延長線上取一點E，使EG=EK，EG的延長線交AB的延長線于F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）連接DG，若AC∥EF時．

①求證：△KGD∽△KEG；

②若cosC=，AK=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②.

【解析】

（1）連接OG，由EG=EK知∠KGE=∠GKE=∠AKH，結合OA=OG知∠OGA=∠OAG，根據CD⊥AB得∠AKH+∠OAG=90°，從而得出∠KGE+∠OGA=90°，據此即可得證；

（2）①由AC∥EF知∠E=∠C=∠AGD，結合∠DKG=∠GKE即可證得△KGD∽△KEG；

②連接OG，由 設CH=4k，AC=5k，可得AH=3k，CK=AC=5k，HK=CK-CH=k．利用AH2+HK2=AK2得k=1，即可知CH=4，AC=5，AH=3，再設⊙O半徑為R，由OH2+CH2=OC2可求得 ，根據 知 ，從而得出答案．

解：（1）如圖，連接OG．

∵EG=EK，

∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，

又OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∴EF是⊙O的切線．

（2）①∵AC∥EF，

∴∠E=∠C，

又∠C=∠AGD，

∴∠E=∠AGD，

又∠DKG=∠GKE，

∴△KGD∽△KEG；

②連接OG，

∵，AK=，

設，

∴設CH=4k，AC=5k，則AH=3k

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5k，

∴HK=CK-CH=k．

在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，即，

解得k=1，

∴CH=4，AC=5，則AH=3，

設⊙O半徑為R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R-3，CH=4 ，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（R-3）2+42=R2，

∴，

在Rt△OGF中，，

∴，

∴．

故答案為：（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②