Question

【題目】已知點A是雙曲線 （k1＞0）上一點，點A的橫坐標為1，過點A作平行于y軸的直線，與x軸交于點B，與雙曲線（k2＜0）交于點C．點D（m，0）是x軸上一點，且位于直線AC右側，E是AD的中點．

（1）當m＝4時，求△ACD的面積（用含k1、k2的代數式表示）；

（2）若點E恰好在雙曲線（k1＞0）上，求m的值；

（3）設線段EB的延長線與y軸的負半軸交于點F，當點D的坐標為D（2，0）時，若△BDF的面積為1，且CF∥AD，求k1的值，并直接寫出線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由于A、C的橫坐標相同，則AC的長即為A、C的縱坐標之差，根據m=4，可求出BD的長，進而的得出三角形的面積；

（2）作EG⊥x軸于點G，判斷出△DEG∽△DAB，再根據A，B，D三點的坐標分別為A（1，k1），B（1，0），D（m，0），以及G為BD的中點，求出E的表達式，代入反比例函數解析式，即可求出m的值；

（3）根據S△BDF=1，求出OF=2，將點B，點E的坐標分別代入解析式，求出直線BE的解析式為y=k1x-k1．再求出AD的解析式，根據平行直線的性質求出FC的解析式，得到C點坐標，從而求出F點的坐標．

（1）由題意得A，C兩點的坐標分別為A（1，k1），C（1，k2）．（如圖1）

∵k1＞0，k2＜0，

∴點A在第一象限，點C在第四象限，AC=k1-k2．

當m=4時，S△ACD＝ACBD＝ (k1k2)．

（2）作EG⊥x軸于點G．（如圖2）

∵EG∥AB，AD的中點為E，

∴△DEG∽△DAB，，G為BD的中點．

∵A，B，D三點的坐標分別為A（1，k1），B（1，0），D（m，0），

∴EG＝，BG＝，OG＝OB+BG＝．

∴點E的坐標為E(，)．

∵點E恰好在雙曲線y＝上，

∴＝k1．①

∵k1＞0，

∴方程①可化為＝1，

解得m=3．

（3）當點D的坐標為D（2，0）時，由（2）可知點E的坐標為E(，)．（如圖3）

∵S△BDF=1，

∴S△BDF＝BDOF＝OF＝1．

∴OF=2．

設直線BE的解析式為y=ax+b（a≠0）．

∵點B，點E的坐標分別為B（1，0），E(，)，

∴

解得a=k1，b=-k1．

∴直線BE的解析式為y=k1x-k1．

∵線段EB的延長線與y軸的負半軸交于點F，k1＞0，

∴點F的坐標為F（0，-k1），OF=k1．

∴k1=2．

∵A點坐標為（1，2），D點坐標為（2，0），

∴設一次函數解析式為y=kx+b，

將A（1，2），D（2，0）分別代入解析式得，

，

解得，

故函數解析式為y=-2x+4，

又∵AD∥FC，

設FC的解析式為y=-2x+c，

將F（0，-2）代入解析式得，c=-2，

故函數解析式為y=-2x-2．

當x=1時，k2=-4．

C點坐標為（1，-4），

故線段CF=．