Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC．則下列結論：
①abc＜0；② ＞0；③ac﹣b+1=0；④OAOB=﹣ ．
其中正確結論的個數是（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b2﹣4ac＞0，
而a＜0，
∴ ＜0，所以②錯誤；
∵C（0，c），OA=OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b+1=0，所以③正確；
設A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），
∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，
∴x1x2= ，
∴OAOB=﹣ ，所以④正確．
故選：B．
由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＞0，則可對①進行判斷；根據拋物線與x軸的交點個數得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，則可對②進行判斷；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，兩邊除以c則可對③進行判斷；設A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），則OA=﹣x1 ， OB=x2 ， 根據拋物線與x軸的交點問題得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，利用根與系數的關系得到x1x2= ，于是OAOB=﹣ ，則可對④進行判斷．