Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與A，C重合），延長BD至E．

（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4（2-）π．

【解析】

（1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉化為證明∠ADB=∠CDF，再根據A，B，C，D四點共圓的性質，和等腰三角形角之間的關系即可得到．

（2）求△ABC外接圓的面積，只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據角之間的關系在三角形內即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．

（1）證明：如圖，設F為AD延長線上一點，

∵A，B，C，D四點共圓，

∴∠CDF=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ADB=∠CDF，

∵∠ADB=∠EDF（對頂角相等），

∴∠EDF=∠CDF，

即AD的延長線平分∠CDE．

（2）設O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，連接OC，

∵AB=AC，

∴，

∴AH⊥BC，

∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，

∴∠COH=2∠OAC=30°，

設圓半徑為r，

則OH=OCcos30°=r，

∵△ABC中BC邊上的高為1，

∴AH=OA+OH=r+r=1，

解得：r=2（2-），

∴△ABC的外接圓的周長為：4（2-）π．