Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：

①∠EBG=45°； ②△DEF∽△ABG；

③S△ABG=S△FGH； ④AG+DF=FG．

其中正確的是_____．（填寫正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①④．

【解析】根據矩形的性質得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根據折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，AG=GH，BC=BF=10，AB=BH=6，根據勾股定理求出AG=GH=3，再逐個判斷即可．

解：∵根據折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAC=90°，

∴∠EBG=×90=45°，∴①正確；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC=6，BC=AD=10，∠A=∠C=∠D=90°，

∴根據折疊得∠BFE=∠C=90°，

∴∠ABG+∠BGA=90°，∠EFD+∠BFA=90°，

∵∠BGA＞∠BFA，

∴∠BAG≠∠EFD，

∵∠GHB=∠A=90°，∠EFB=∠C=90°，

∴∠GHB=∠EFB，

∴GH∥EF，

∴∠EFD=∠HGF，

根據已知不能推出∠AGB=∠HGF，

∴∠AGB≠∠EFD，

即△DEF和△ABG不全等，∴②錯誤；

∵根據折疊得：AB=BH=6，BC=BF=10，

∴由勾股定理得：AF==8，

∴DF=10﹣8=2，HF=10﹣6=4，

設AG=HG=x，

在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2=GF2，

即x2+42=（8﹣x）2，

解得：x=3，

即AG=HG=3，

∴S△ABG=×AB×AG=×6×3=9，

S△FHG=×GH×HF=×3×4=6，∴③錯誤；

∵AG+DF=3+2=5，GF=10﹣3﹣2=5，∴④正確；

故答案為：①④．

“點睛”本題考查了勾股定理。折疊的性質，矩形的性質等知識點，能靈活運用定理進行推理和計算是解題的關鍵.