Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E．
（1）求證：DC=DE；
（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE，

（2）解：設BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，

在Rt△EAD中，

∵tan∠CAB= ，∴ED= AD= （3+x），

由（1）知，DC= （3+x），在Rt△OCD中，

OC2+CD2=DO2，

則1.52+[ （3+x）]2=（1.5+x）2，

解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，

故BD=1．

【解析】（1）利用切線的性質結合等腰三角形的性質得出∠DCE=∠E，進而得出答案；（2）設BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的長．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．