Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3（a≠0）與直線y＝x﹣1交于點A和點B（點A在點B的左側），AB＝5．

（1）求證：該拋物線必過一個定點；

（2）求該拋物線的解析式；

（3）設直線x＝m與該拋物線交于點E（x1，y1），與直線AB交于點F（x2，y2），當滿足y1+y2＞0且y1y2＜0時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝x2﹣6x+5或y＝﹣x2﹣x+；（3）m＜1或4＜m＜5或﹣＜m＜1或m＞1．

【解析】

（1）將二次函數解析式進行變形，得到y=a（x2﹣3x+2）a﹣3x+3，當x2﹣3x+2＝0時，即可求出函數圖象過的定點.

（2）將y＝x﹣1代入y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3，根據韋達定理得到根據兩點之間的距離公式即可求出的值.

（3）根據（2）中的解析式，分兩種情況進行討論即可.

解：（1）證明：∵y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3＝a（x2﹣3x+2）a﹣3x+3，

∴當x2﹣3x+2＝0時，圖象過定點，即：x＝1或2，

∴該拋物線必過定點（1，0）、（2，﹣3）；

（2）將y＝x﹣1代入y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3，整理得：ax2﹣（3a+4）x+2a+4＝0，

即：

如下圖，直線y＝x﹣1與x軸的夾角為45°，則AB的水平距離為

解得：a＝1或

則函數的表達式為：y＝x2﹣6x+5或

（3）當函數為：y1＝x2﹣6x+5時，直線表達式為：y2＝x﹣1，

令y1＝0，則x＝1或5，則點D坐標為（5，0），

①當m＜1時，則y1y2＜0，

當x＝m時，y1+y2＞0，即：m2﹣6m+5+m﹣1＞0，

解得：m＞4或m＜1，

故：m＜1；

②當1＜m＜5時，m2﹣6m+5+m﹣1＜0，

解得：4＜m或m＜1，

故：4＜m＜5；

同理當 時，

或m＞1；

綜上所述：m的取值范圍為：m＜1或4＜m＜5或或m＞1．