Question

【題目】已知二次函數y＝ax2+bx+c，當x＝3時，y有最小值﹣4，且圖象經過點(﹣1，12)．

(1)求此二次函數的解析式；

(2)該拋物線交x軸于點A，B(點A在點B的左側)，交y軸于點C，在拋物線對稱軸上有一動點P，求PA+PC的最小值，并求當PA+PC取最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣6x＋5；(2) 當點P的坐標為（3，2）時，PA＋PC取最小值，最小值為5．

【解析】

（1）由頂點坐標將二次函數的解析式設成y=a（x-3）2-4，由該函數圖象上一點的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、B、C的坐標，由二次函數圖象的對稱性可得出連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時PA+PC取最小值，最小值為BC，根據點B、C的坐標可求出直線BC的解析式及線段BC的長度，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標，此題得解．

（1）∵當x=3時，y有最小值-4，

∴設二次函數解析式為y=a（x-3）2-4．

∵二次函數圖象經過點（-1，12），

∴12=16a-4，

∴a=1，

∴二次函數的解析式為y=（x-3）2-4=x2-6x+5．

（2）當y=0時，有x2-6x+5=0，

解得：x1=1，x2=5，

∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（5，0）；

當x=0時，y=x2-6x+5=5，

∴點C的坐標為（0，5）．

連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時PA+PC取最小值，最小值為BC，如圖所示．

設直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），

將B（5，0）、C（0，5）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=-x+5．

∵B（5，0）、C（0，5），

∴BC=5．

∵當x=3時，y=-x+5=2，

∴當點P的坐標為（3，2）時，PA+PC取最小值，最小值為5．