Question

17．如圖，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，點D是AB的中點，連結CD，動點P從點A出發，沿A→C→B的路徑運動，到達點B時運動停止，速度為每秒2cm，設運動時間為t秒．
（1）求CD的長；
（2）當t為何值時，△ADP是直角三角形？
（3）直接寫出：當t為何值時，△ADP是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據AC=BC=10cm，AB=12cm，點D是AB的中點，運用等腰三角形的性質，求得AD的長，再根據勾股定理求得CD即可；
（2）分兩種情況進行討論：當DP⊥AC時，△ADP是直角三角形，當PD⊥AD時，△ADP是直角三角形，分別根據相似三角形的性質進行求解即可；
（3）分三種情況進行討論：當PA=PD時，當AP=AD時，當AD=PD時，分別作輔助線構造相似三角形，運用相似三角形的對應邊成比例，求得t的值即可．

解答 解：（1）如圖所示，AC=BC=10cm，AB=12cm，點D是AB的中點，

∴CD⊥AB，AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=6cm，
∴Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=8cm；

（2）分兩種情況：
①如圖所示，當DP⊥AC時，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2t}{6}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=1.8，
②如圖所示，當PD⊥AD時，△ADP是直角三角形，

此時點P與點C重合，AP=AC=10，
∴t=$\frac{10}{2}$=5，
綜上所述，當t=1.8或5秒時，△ADP是直角三角形；

（3）分三種情況：
①如圖所示，當PA=PD時，過點P作PE⊥AD于E，則AE=$\frac{1}{2}$AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2t}{10}$=$\frac{3}{6}$，
解得t=$\frac{5}{2}$；
②如圖所示，當AP=AD時，2t=6，

∴t=$\frac{6}{2}$=3；
③如圖所示，當AD=PD時，過點D作DF⊥AP于F，則AF=$\frac{1}{2}$AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=3.6，
綜上所述，當t=2.5或3或3.6秒時，△ADP是等腰三角形．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例列出比例式進行計算．解題時注意方程思想和分類思想的運用．