Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，動點P在線段上以每秒2個單位長度的速度由點運動到點停止，設運動時間為，過點作軸的垂線，交直線于點, 交拋物線于點．連接，是線段的中點，將線段繞點逆時針旋轉得線段．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，當為何值時，面積有最大值，最大值是多少？

（3）當為何值時，點落在拋物線上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，面積的最大值為16；（3）

【解析】

（1）用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先用待定系數法求出直線AB的解析式，然后根據點P的坐標表示出Q,D的坐標，進一步表示出QD的長度，從而利用面積公式表示出的面積，最后利用二次函數的性質求最大值即可；

（3）分別過點作軸的垂線，垂足分別為，首先證明≌，得到，然后得到點N的坐標，將點N的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范圍．

（1）∵拋物線過點，

∴解得

所以拋物線的解析式為： ；

（2）設直線AB的解析式為 ，

將代入解析式中得,

解得

∴直線AB解析式為 ．

∵，

，

∴，

∴，

∴當時，面積的最大值為16 ；

（3）分別過點作軸的垂線，垂足分別為，

．

在和中， ，

∴≌，

∴．

∵，

．

當點落在拋物線上時，.

∴,

，

∴ ．