Question

【題目】閱讀資料：我們把頂點(diǎn)在圓上，并且一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如下左圖∠ABC所示。

同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)：P為圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)弦AC經(jīng)過圓心O時(shí)，且AB切⊙O于點(diǎn)A，此時(shí)弦切角∠CAB=∠P（圖甲）

證明：∵AB切⊙O于點(diǎn)A， ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直徑， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P

問題拓展：若AC不經(jīng)過圓心O（如圖乙），該結(jié)論:弦切角∠CAB=∠P還成立嗎？

請(qǐng)說明理由。

知識(shí)運(yùn)用：如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB、AC分別相交于E、F。 求證：EF∥BC。

Answer 1

【答案】（1）成立；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：問題拓展：首先連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，由圓周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直徑，AB切圓于點(diǎn)A，易證得∠CAB=∠CAD，繼而證得結(jié)論；

知識(shí)運(yùn)用：連接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分線，⊙O與BC切于點(diǎn)D，可得∠FDC=∠EAD，又由圓周角定理可得∠EAD=∠EFD，繼而證得結(jié)論．

試題解析：問題拓展：成立．

如圖3，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，

則∠D=∠P，

∵AD是直徑，

∴∠D+∠CAD=90°，

又∵AB切圓于點(diǎn)A，

∴∠CAB+∠CAD=90°，

∴∠CAB=∠CAD，

而∠CAD=∠P，

∴∠CAB=∠P；

知識(shí)運(yùn)用：如圖4，連接DF，

∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，

∴∠EAD=∠DAC，

∵⊙O與BC切于點(diǎn)D，

∴∠FDC=∠DAC，

∴∠FDC=∠EAD，

∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，

∴∠FDC=∠EFD，

∴EF∥BC．