Question

【題目】已知：內接于，為劣弧的中點，．

（1）如圖1，當為的直徑時，求證：；

（2）如圖2，當不是的直徑，且時，求證：；

（3）如圖3在（2）的條件下，，，求長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）．

【解析】

（1）由等角的余角相等，得到∠ABD=∠EAC，由為劣弧的中點，則∠ABC=2∠EAC，即可得到答案；

（2）延長AE交BC于點G，先證明△ABE≌△GBE，則AB=GB，AE=GE，∠BAE=∠BGE，由三角形的外角性質和等量代換，得到CG=AG=2AE，即可得到答案；

（3）延長AE到G，過點D作DH⊥BC，連接DC，OD，由相似三角形的判定和性質，求出所需的邊長的長度，結合解直角三角形和勾股定理，即可得到答案．

解：（1）如圖1，

∵為的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵，

∴∠AEF=90°，

∴∠ABD+∠AFB=∠AFB+∠CAE=90°，

∴∠ABD=∠CAE，

∵為劣弧的中點，

∴∠ABC=2∠ABD=2∠CAE，

∵∠ABC+∠C=90°，

∴；

（2）如圖，延長AE交BC于點G，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=∠GEB=90°，

∵點D是為劣弧的中點，

∴∠ABE=∠GBE，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△GBE（ASA），

∴AB=GB，AE=GE，∠BAE=∠BGE，

∴AG=2AE，

∵，

∴∠BGE=2∠C，

∵∠BGE=∠C+∠CAG，

∴∠C=∠CAG，

∴CG=AG=2AE，

∵BC=BG+CG，

∴；

（3）如圖，延長AE到G，過點D作DH⊥BC，連接DC，OD，

由（2）知，AG=CG，點D為弧AC的中點，

∴點O、G、D三點共線，

∵∠ABE=∠DBH，∠AEB=∠DHB=90°，

∴△ABE∽△DBH，

∴，

∵，，

∴，，

∵DG平分∠AGC，

∴GE=GH，

設，則，

∴，

在Rt△BEG中，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

易證△AFB∽DFC，

∴，

∴．