Question

11．如圖所示，△ABC的兩條外角平分線AP、CP相交于點P，PH⊥AC于H．若∠ABC=60°，則下面的結論：
①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC，
其中正確結論的個數是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 如圖作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分線的判定定理和性質定理可得PB是∠ABC的平分線，由△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，推出∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由∠MPN=180°-∠ABC=120°，推出∠APC=$\frac{1}{2}$∠MPN=60°，由∠BPN=∠CPA=60°，推出∠CPB=∠APN=∠APH即可一一判斷．

解答 解：如圖作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．

∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，
∴PN=PH，同理PM=PH，
∴PN=PM，
∴PB平分∠ABC，
∴∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，故①正確，
∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PN=PH}\end{array}\right.$，
∴△PAN≌△PAH，同理可證，△PCM≌△PCH，
∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=$\frac{1}{2}$∠MPN=60°，故②正確，
在Rt△PBN中，∵∠PBN=30°，
∴PB=2PN=2PH，故③正確，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正確．

點評 本題考查角平分線的判定定理和性質定理．全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，屬于中考常考題型．