Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）頂點D的坐標為（1，﹣4）．（2）△BCD為直角三角形．（3）符合條件的點有三個：O（0，0），，P2（9，0）．

【解析】

試題分析：（1）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數法求出該拋物線的解析式，進而可用配方法或公式法求得頂點D的坐標．

（2）根據B、C、D的坐標，可求得△BCD三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可．

（3）假設存在符合條件的P點；首先連接AC，根據A、C的坐標及（2）題所得△BDC三邊的比例關系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據相似三角形的性質（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點P的坐標．

試題解析：（1）設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

由拋物線與y軸交于點C（0，﹣3），可知c=﹣3，

即拋物線的解析式為y=ax2+bx﹣3，

把A（﹣1，0）、B（3，0）代入，

得

解得a=1，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∴頂點D的坐標為（1，﹣4）．

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形，

理由如下：

過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=18，

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD2=2，

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD2=20，

∴BC2+CD2=BD2，故△BCD為直角三角形．

（3）連接AC，則容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合條件的點為O（0，0）．

過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，

求得符合條件的點為．

過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，

求得符合條件的點為P2（9，0）．

∴符合條件的點有三個：O（0，0），，P2（9，0）．