Question

【題目】如圖，已知△ABC的中線BD、CE相交于點O、M、N分別為OB、OC的中點．

（1）求證：MD和NE互相平分；

（2）若BD⊥AC，EM=2，OD+CD=7，求△OCB的面積．

Answer 1

【答案】(1)見試題解析（2）8.5．

【解析】試題分析：（1）連接ED、MN，根據三角形中位線定理可得ED∥MN，ED=MN，進而得到四邊形DEMN是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質可得MD和NE互相平分；

（2）利用（1）中所求得出OC=2DN=4，再利用勾股定理以及三角形面積公式求出S△OCB=OB×CD即可．

試題解析：（1）證明：連接ED、MN，

∵CE、BD是△ABC的中線，

∴E、D是AB、AC中點，

∴ED∥BC，ED=BC，

∵M、N分別為OB、OC的中點，

∴MN∥BC，MN=BC，

∴ED∥MN，ED=MN，

∴四邊形DEMN是平行四邊形，

∴MD和NE互相平分；

（2）解：由（1）可得DN=EM=2，

∵BD⊥AC，

∴∠ODC=90°，

∵N是OC的中點，

∴OC=2DN=4（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）

∵OD2+CD2=OC2=32，

（OD+CD）2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49，

2OD×CD=49﹣32=17，

OD×CD=8.5，

∵OB=2OM=2OD，

∴S△OCB=OB×CD=OD×CD=8.5．