Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC，∠ABC=90°，頂點A在第一象限，頂點B、C在x軸的正半軸上（C在B的右側），，△ADC與△ABC關于AC所在的直線對稱.

（1）當OB=2時，求點D的坐標.

（2）若點和點在同一個反比例函數圖象上，求的長.

Answer 1

【答案】（1）點的坐標是；（2）的長為3

【解析】

（1）過點作軸于點，利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度數，根據軸對稱的性質可得DC=BC，∠ACD=∠ACB，利用平角定義可求出∠DCE的度數，利用∠DCE的三角函數可求出CE和DE的長，根據OE=OB+BC+CE可求出OE，即可得點D坐標；（2）設，可用a表示出點A坐標，由（1）得CE、DE的長，可用a表示出點D坐標，根據反比例函數圖象上點的坐標特征列方程求出a的值即可得答案.

（1）如圖，過點作軸于點，

∵，

∴，

∴，

∵△ADC與△ABC關于AC所在的直線對稱，

∴DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，

∴CE=CD·cos∠DCE=1，DE=CD·sin∠DCE=，

∴，

∴點的坐標是.

（2）設，則點的坐標是，

由（1）得：，

∵BC=2，

∴OE=a+2+1=3+a，

∴點的坐標是，

∵點和點在同一個反比例函數的圖象上，

∴，

解得：，即的長為3.