Question

9．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點向A點運動，設運動時間為t（秒）（0≤t＜3）．
（1）用含t的代數式表示PC的長度：PC=6-2t．
（2）若點P、Q的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
（3）若點P、Q的運動速度不相等，當點Q的運動速度a為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）直接根據時間和速度表示PC的長；
（2）根據SAS證明△CQP≌△BPD即可；
（3）因為點P、Q的運動速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能與PC相等，則PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．

解答 解：（1）由題意得：PB=2t，
則PC=6-2t；
故答案為：6-2t；
（2，理由是：
當t=a=1時，PB=CQ=2，
∴PC=6-2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC=BD}\\{∠C=∠B}\\{CQ=PB}\end{array}\right.$，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
（3）∵點P、Q的運動速度不相等，
∴PB≠CQ，
當△BPD于△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$a=4，
a=$\frac{8}{3}$，
∴當a=$\frac{8}{3}$時，能夠使△BPD與△CQP全等．

點評 本題是三角形的動點運動問題，考查了全等三角形的判定，主要運用了路程=速度×時間的公式，要求熟練運用全等三角形的判定和性質．