Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求證：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC，

∴∠ACD=∠ACB，

∵AD⊥DC，AE⊥BC，

∴∠D=∠AEC=90°，

∵AC=AC，

∴ ，

∴△ADC≌△AEC，（AAS）

∴AD=AE

（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，

設(shè)AB=x，則BE=x﹣4，AE=8，

在Rt△ABE中∠AEB=90°，

由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，

解得：x=10，

∴AB=10．

說明：依據(jù)此評分標(biāo)準(zhǔn)，其它方法如：過點(diǎn)C作CF⊥AB用來證明和計(jì)算均可得分．

【解析】（1）連接AC證明AD、AE所在的三角形全等，即證明△ADC≌△AEC，即可得出結(jié)論。
（2）設(shè)AB=x，再用含x的代數(shù)式表示BE，利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，求解即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和直角梯形的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能正確解答此題．