Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx﹣3經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

（1）求二次函數解析式及對稱軸方程；
（2）連接BC，交對稱軸于點E，求E點坐標；
（3）在y軸上是否存在一點M，使△BCM為等腰三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在第四象限內拋物線上是否存一點H，使得四邊形ACHB的面積最大？若存在，求出點H坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A，B兩點坐標代入y=ax2+bx﹣3得：

，解得a=1，b=﹣2，

所以二次函數解析式為y=x2﹣2x﹣3，

對稱軸方程為：直線x=﹣ =1

（2）解：如圖1，y=x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3），

設直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），

把B（3，0）和C（0，﹣3）代入得： ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

當x=1時，y=1﹣3=﹣2，

∴E（1，﹣2）

（3）解：存在：

如圖2，有四種情況：

①當BC=BM1時，

∵x軸⊥y軸，

∴OM1=OC=3，

∴M1（0，3），

②當BC=CM2時（M2在點C的上方），

∵BC= =3 ，

∴CM2=3 ，

∴OM2=3 ﹣3，

∴M2（0，3 ﹣3），

③當BC=CM3時（M3在C的下方），

∴OM3=3 +3，

∴M3（0，﹣3﹣3 ），

④作BC的中垂線，交BC于E，交y軸于M4，

cos∠M4CB= ，

∴ ，

CM4=3，即M4與原點O重合，

∴M4（0，0），

綜上所述，點M的坐標為：M1（0，3），M2（0，3 ﹣3），M3（0，﹣3﹣ ），M4（0，0）

（4）解：如圖3，連接OH，設H點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），

S四邊形ACHB=S△AOC+S△COH+S△BOH，

= + x+ |x2﹣2x﹣3|，

= + x+ （﹣x2+2x+3），

=﹣ + x+6，

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，四邊形ACHB的面積最大，

∴當x0= 時，x02﹣2x0﹣3= ，

所以點H坐標為 ．

【解析】（1）利用待定系數法求解析式，利用對稱軸公式求對稱軸方程；
（2）利用求BC解析式求點E的坐標為（1，-2）；
（3）分別以△BCM的三邊為腰畫等腰三角形，與y軸有四個交點，分別求出M點的坐標即可；
（4）設H點坐標為（x，x2-2x-3），因為H在第四象限，可以取H的縱坐標的相反數為△OBH的高，利用面積和表示四邊形ACHB的面積，利用二次函數的最值得結論．



【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．