Question

【題目】如圖，矩形ABCO中，點C在x軸上，點A在y軸上，點B的坐標是（一6，8）．矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點A落在對角線OB上的點E處，折痕與OA、x軸分別交于點D、F．

(1)直接寫出線段BO的長：

(2)求點D的坐標；

(3)若點N是平面內任一點，在x軸上是否存在點M，使咀M、N、E、O為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點M的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BO=10；（2）D（0,5）；（3）存在，, M(4,0)，（-4,0）（，0）（，0）.

【解析】

（1）由矩形的性質及勾股定理即可求出BO的長；（2）由折疊的性質可得BE=AB=6，DE=AD,故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，設D（0,a）則OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；（3）分①OM,OE都為邊；②OM為邊OE為對角線；③OM為對角線，OE為邊；3種情況進行討論，分別求出M的坐標.

解：(1)∵四邊形ABCO是矩形，點B坐標為（-6,8）

∴BO==10

(2)∵矩形ABCO中點B的坐標是（-6,8）

∴AB=6，OA=8.

BE=AB=6，OE=10-6=4

設D(0，a)，則OD=a,AD=ED=8-a

在RtΔEOD中，

解得：a=5.

∴D（0,5）

(3)存在，

①OM,OE都為邊時，OM=OE=4，

∴M的坐標為(4,0)，（-4,0）

②OM為邊OE為對角線時，MN垂直平分OE，垂足為G，如圖1

則OG=OE=2

則cos∠MOG=cos∠BOC

∴即

解得OM=

∴M（，0）

③OM為對角線，OE為邊，如圖2

同②得M（，0）

∴M(4,0)，（-4,0）（，0）（，0）.