Question

【題目】已知：O是坐標原點，P（m，n）（m＞0）是函數y= （k＞0）上的點，過點P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點A（a，0）（a＞m）．設△OPA的面積為s，且s=1+ ．

（1）當n=1時，求點A的坐標；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）設n是小于20的整數，且k≠ ，求OP2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點P作PQ⊥x軸于Q，則PQ=n，OQ=m，

當n=1時，s= ，

∴a= = ．

（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n= ．

∴1+ = an．

即n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n．

設△OPQ的面積為s1

則：s1= ∴ mn= （1+ ），

即：n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，

∴△OPQ∽△OAP．

設：△OPQ的面積為s1，則 =

即： = 化簡得：

化簡得：

2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0

（k﹣2）（2k﹣n4）=0，

∴k=2或k= （舍去），

∴當n是小于20的整數時，k=2．

∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，

∴n是大于0且小于20的整數．

當n=1時，OP2=5，

當n=2時，OP2=5，

當n=3時，OP2=32+ =9+ = ，

當n是大于3且小于20的整數時，

即當n=4、5、6…19時，OP2的值分別是：

42+ 、52+ 、62+ …192+ ，

∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，

∴OP2的最小值是5．

【解析】（1）利用△OPA面積定義構建關于a的方程，求出A的坐標；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形， 由其面積構建關于n的方程，轉化為k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面積比等于相似比的平方構建關于k的方程，最值問題的基本解決方法就是函數思想，利用勾股定理用m、n的代數式表達OP2,,在n的范圍內求出OP2的最值.