Question

【題目】請將寬為3cm、長為ncm的長方形（n為正整數）分割成若干小正方形，要求小正方形的邊長是正整數且個數最少．例如，當n＝5cm時，此長方形可分割成如右圖的4個小正方形．

請回答下列問題：

（1）n＝16時，可分割成幾個小正方形？

（2）當長方形被分割成20個小正方形時，求n所有可能的值；

（3）一般地，n＞3時，此長方形可分割成多少個小正方形．

Answer 1

【答案】（1）可分割成8個小正方形；（2）n所有可能的值為60或52或53；（3）當n＞3時，此長方形可分割成小正方形為：當n＝3k時，有k個小正方形；當n═3k+1時，有（k+3）個小正方形；當n＝3k+2時，有（k+3）個小正方形．

【解析】

根據題意，繼續畫圖分析并總結規律，然后再解決下列問題即可.

（1）根據以上結論即可求解；

（2）根據以上結論即可求解；

（3）根據總結規律整理到一起即可．

解：若n=4=3×1+1時,如下圖所示,此時共有4=(1+3)個小正方形

若n=7=3×2+1時,如下圖所示,此時共有5=(2+3)個小正方形

由上可知:當n等于3的k倍加1時，小正方形的個數為（k+3）個，即當n═3k+1時，有（k+3）個小正方形;

若n=5=3×1+2時,如下圖所示,此時共有4=(1＋3)個小正方形

若n=8=3×2+2時,如下圖所示,此時共有5=(2＋3)個小正方形

由上可知: 當n等于3的k倍加2時，小正方形的個數為（k+3）個，即當 n＝3k+2時，有（k+3）個小正方形;

若n=6=3×2時,如下圖所示,此時共有2個小正方形

若n=9=3×3時,如下圖所示,此時共有3個小正方形

由上可知: 當n等于3的k倍時，小正方形的個數為k個，即 n＝3k時，有k個小正方形；

（1）n＝16＝3×5＋1時，可分割成5＋3=8個小正方形；

（2）當長方形被分割成20個小正方形時，

若n＝3k時，此時k=20，代入解得：n=60；

若n═3k+1時，此時k+3=20，解得k=17，代入解得：n═52；

若n＝3k+2時，此時k+3=20，解得k=17，代入解得：n═53.

綜上所述：n所有可能的值為60或52或53；

（3）由上可知：當n＞3時，此長方形可分割成小正方形為：

當n＝3k時，有k個小正方形；

當n═3k+1時，有（k+3）個小正方形；

當n＝3k+2時，有（k+3）個小正方形．