Question

【題目】如圖，A、B兩點同時從原點O出發，點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動.

（1）若∣x＋2y－5∣＋∣2x－y∣＝0，試分別求出1秒鐘后，A、B兩點的坐標.

（2）設∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P，問：點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由.

（3）如圖，延長BA至E，在∠ABO的內部作射線BF交x軸于點C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G，過點G作BE的垂線，垂足為H，試問∠AGH和∠BGC的大小關系如何？

請寫出你的結論并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（－1，0），B（0，2）（2）不發生變化,理由見解析（3）∠AGH＝∠BGC, 理由見解析

【解析】

（1）|x+2y-5|+|2x-y|=0，非負數的性質得，x+2y-5≥0，2x-y≥0；由此解不等式即可求得，A、B兩點同時從原點O出發，點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動，∴A（-1，0），B（0，2）；

（2）不發生變化．要求∠P的度數，只要求出∠PAB+∠PBA的度數．利用三角形內角和定理得，∠P=180°-∠PAB-∠PBA；角平分線性質得，∠PAB=∠EAB，∠PBA=∠FBA，外角性質得，∠EAB=∠ABO+90°，∠FBA=∠BAO+90°，則可求∠P的度數；

（3）試求∠AGH和∠BGC的大小關系，找到與它們有關的角．如∠BAC，作GM⊥BF于點M，由已知有可得∠AGH與∠BGC的關系．

解：（1）解方程組：

得：

∴A（－1，0），B（0，2）

（2）∠P的大小不發生變化.

∠P＝180°－∠PAB－∠PBA

＝180°－（∠EAB＋∠FBA）

＝180°－（∠ABO＋90°＋∠BAO＋90°）

＝180°－（180°＋180°－90°）

＝180°－135°

＝45°

（3）∠AGH＝∠BGC，理由如下：

作GM⊥BF于點M

由已知有：∠AGH＝90°－∠EAC

＝90°－（180°－∠BAC）

＝∠BAC

∠BGC＝∠BGM－∠CGM

＝90°－∠ABC－（90°－∠ACF）

＝（∠ACF－∠ABC）

＝∠BAC

∴∠AGH＝∠BGC