Question

（2012•徐州）如圖1，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AD=4cm，AB=dcm．動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)D、B出發(fā)，點(diǎn)E以1cm/s的速度沿邊DA向點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)F以1cm/s的速度沿邊BC向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)F移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)．以EF為邊作正方形EFGH，點(diǎn)F出發(fā)xs時(shí)，正方形EFGH的面積為ycm²．已知y與x的函數(shù)圖象是拋物線(xiàn)的一部分，如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
（1）自變量x的取值范圍是

0≤x≤4

；
（2）d=

3

，m=

2

，n=

25

；
（3）F出發(fā)多少秒時(shí)，正方形EFGH的面積為16cm²？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出BC的長(zhǎng)，然后利用路程、速度、時(shí)間的關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可知，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到AD、BC的中點(diǎn)時(shí)，正方形的面積最小，求出d、m的值，再根據(jù)開(kāi)始于結(jié)束時(shí)正方形的面積最大，利用勾股定理求出BD的平方，即為最大值n；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EI⊥BC垂足為點(diǎn)I，則四邊形DEIC為矩形，然后表示出EI、IF，再利用勾股定理表示出EF²，根據(jù)正方形的面積得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，然后把y=16代入求出x的值，即可得到時(shí)間．

解答：解：（1）∵BC=AD=4，4÷1=4，
∴0≤x≤4；
故答案為：0≤x≤4；

（2）根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到AD、BC的中點(diǎn)時(shí)，
EF=AB最小，所以正方形EFGH的面積最小，
此時(shí)，d²=9，m=4÷2=2，
所以，d=3，
根據(jù)勾股定理，n=BD²=AD²+AB²=4²+3²=25，
故答案為：3，2，25；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥BC垂足為點(diǎn)I．則四邊形DEIC為矩形，
∴EI=DC=3，CI=DE=x，
∵BF=x，
∴IF=4-2x，
在Rt△EFI中，EF²=EI²+IF²=3²+（4-2x）²，
∵y是以EF為邊長(zhǎng)的正方形EFGH的面積，
∴y=3²+（4-2x）²，
當(dāng)y=16時(shí)，3²+（4-2x）²=16，
整理得，4x²-16x+9=0，
解得，x₁=

4+ 7

2

，x₂=

4- 7

2

，
∵點(diǎn)F的速度是1cm/s，
∴F出發(fā)

4+ 7

2

或

4- 7

2

秒時(shí)，正方形EFGH的面積為16cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，（2）根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，結(jié)合二次函數(shù)圖象找出當(dāng)EF=AB時(shí)正方形的面積為最小值是解題的關(guān)鍵，（3）求出正方形EFGH的面積的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．