Question

（2012•徐州）如圖，直線y=x+b（b＞4）與x軸、y軸分別相交于點A、B，與反比例函數y=-

4

x

的圖象相交于點C、D（點C在點D的左側），⊙O是以CD長為半徑的圓．CE∥x軸，DE∥y軸，CE、DE相交于點E．
（1）△CDE是

等腰直角

三角形；點C的坐標為

（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

）

，點D的坐標為

（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）

（用含有b的代數式表示）；
（2）b為何值時，點E在⊙O上？
（3）隨著b取值逐漸增大，直線y=x+b與⊙O有哪些位置關系？求出相應b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數的性質得出∠DCE=45°，即可得出△CDE是等腰直角；再將y=x+b與y=-

4

x

，聯立求出交點坐標即可；
（2）根據已知得出四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形，進而得出OE=AC=BD=CD，再利用△AFC∽△AOB，求出b的值，即可得出答案；
（3）根據整個圖形是軸對稱圖形，得出點O、E、G在對稱軸上，即GC=GD=

1

2

CD=

1

2

OG=

1

2

AG，再得出△AHC∽△AOB，求出b的值即可，進而判斷出直線y=x+b與⊙O的位置關系和b的取值范圍．

解答：解：（1）根據直線y=x+b（b＞4）與反比例函數y=-

4

x

的圖象相交于點C、D，CE∥x軸，DE∥y軸，
則y=x+b與y=x平行，
故∠DCE=45°，
則△CDE是等腰直角三角形；
將y=x+b與y=-

4

x

，聯立得出：
x+b=-

4

x

，
解得：x₁=

-b+ b2-16

2

，x₂=

-b- b2-16

2

，分別代入y=x+b得：
y₁=

b+ b2-16

2

，y₂=

b- b2-16

2

，
故點C的坐標為：（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

），
點D的坐標為：（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）；
故答案為：等腰直角，（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

），（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）；

（2）當點E在⊙O上時，如圖1，連接OE．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴E點橫坐標為：

-b+ b2-16

2

，縱坐標為：

b- b2-16

2

，
則OE=CD．
∵直線y=x+b與x軸、y軸相交于點A（-b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，
∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．
∵整個圖形是軸對稱圖形，
∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．
∵CE∥x軸，DE∥y軸，
∴四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形．
∴OE=AC=BD．
∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．
過點C作CF⊥x軸，垂足為點F．
則△AFC∽△AOB．
∴

CF

BO

=

AC

AB

=

1

3

．
∴AF=CF=

1

3

BO=

1

3

b．
∴

b- b2-16

2

=

1

3

b，
解得：b=±3

2

．
∵b＞4，∴b=3

2

．
∴當b=3

2

時，點E在⊙O上．

（3）當⊙O與直線y=x+b相切于點G時，
如圖2，連接OG．
∵整個圖形是軸對稱圖形，
∴點O、E、G在對稱軸上．
∴GC=GD=

1

2

CD=

1

2

OG=

1

2

AG．
∴AC=CG=GD=DB．
∴AC=

1

4

AB．
過點C作CH⊥x軸，垂足為點H．  
則△AHC∽△AOB．
∴

CH

BO

=

AC

AB

=

1

4

．
∴C的縱坐標：yC=CH=

1

4

BO=

1

4

b．
∴

b- b2-16

2

=

1

4

b，
解得b=±

8 3

3

．
∵b＞4，∴b=

8 3

3

．
∴當b=

8 3

3

時，直線y=x+b與⊙O相切；
當4＜b＜

8 3

3

時，直線y=x+b與⊙O相離；
當b＞

8 3

3

時，直線y=x+b與⊙O相交．

點評：此題主要考查了圓的綜合題目以及一次函數與反比函數的綜合應用和相似三角形的判定與性質，利用數形結合得出對應線段之間的關系是解題關鍵．