Question

【題目】如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上一點，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.

①試說明BE·AD＝CD·AE；
②根據圖形特點，猜想 可能等于哪兩條線段的比?并證明你的猜想，（只須寫出有線段的一組即可）

Answer 1

【答案】解：①∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，

即∠DAC=∠BAE，

∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，

∠ADC=∠ADB+∠BDC，

又∵∠DAE=∠BDC，

∴∠AEB=∠ADC，

∴△BEA∽△CDA，

∴ = ，

即BE·AD=CD·AE；

②猜想 = 或（ ），

由△BEA∽△CDA可知， = ，即 = ，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△BAC∽△EAD，

∴ = 或（ ）

【解析】①根據∠BAC=∠DAE證明∠DAC=∠BAE，再根據三角形的外角性質得出∠AEB=∠ADB+∠DAE，∠ADC=∠ADB+∠BDC，由∠BDC＝∠DAE，證出∠AEB=∠ADC，然后根據兩組角對應相等的兩三角形相似，得對應邊成比例，即可證得結論。
（2）根據已知證明△BEA∽△CDA和△BAC∽△EAD，即可得出結論。
【考點精析】利用三角形的外角和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．