Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于點O．

（1）求邊AB的長；

（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G．

①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；

②旋轉過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）2（2）①等邊三角形，理由見解析②

【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴△AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。
（2）①△AEF是等邊三角形。理由如下：

∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，∴△ABC與△ACD均為等邊三角形。

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。

又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。

在△ABE與△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，

∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。

又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形。

②BC=2，E為四等分點，且BE＞CE，∴CE=，BE=。

由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內角和定理），

∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內角），∠EGA=∠CGF（對頂角），

∴∠EAC=∠GFC。

在△CAE與△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，

∴△CAE∽△CFG 。∴，即。解得：CG=。

（1）根據菱形的性質，確定△AOB為直角三角形，然后利用勾股定理求出邊AB的長度。

（2）①確定一對全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根據已知條件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等邊三角形。

②確定一對相似三角形△CAE∽△CFG，由對應邊的比例關系求出CG的長度。