Question

【題目】若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．

（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）如圖2，在12×16的網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；

（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）∠BCD的度數為135°或90°或45°.

【解析】

（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形即可.

（2）根據扇形的性質弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構成的四邊形ABCD就是和諧四邊形.

（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質，正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠BCD的度數.

（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC.

∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°.

∴∠ABD=∠ADB.∴△ADB是等腰三角形.

在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°.∴△BCD為等腰三角形.

∴BD是梯形ABCD的和諧線.

（2）由題意作圖為：圖2，圖3

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，∴△ACD是等腰三角形.

∵AB=AD=BC，∴分三種情況：

如圖4，當AD=AC時，

圖4

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC.

∴△ABC是正三角形.∴∠BAC=∠BCA=60°.

∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°.

∴∠ACD=∠ADC=75°.∴∠BCD=60°+75°=135°.

如圖5，當AD=CD時，

圖5

∴AB=AD=BC=CD.

∵∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是正方形.

∴∠BCD=90°.

如圖6，當AC=CD時，

圖6

過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD．CE⊥AD，∴AE=AD，∠ACE=∠DCE.

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，

∴四邊形ABFE是矩形.∴BF=AE.

∵AB=AD=BC，∴BF=BC.∴∠BCF=30°.

∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC.

∵AB∥CE，∴∠BAC=∠ACE.∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°.

∴∠BCD=15°×3=45°.

綜上所述，∠BCD的度數為135°或90°或45°.