Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）分別求出圖中直線和拋物線的函數表達式；

（2）連接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣3，y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，點P

【解析】

（1）設一次函數解析式為：y=mx+n，把B、C點坐標分別代入一次函數解析式和二次函數解析式即可解出．

（2）若四邊形是菱形，和OC相互垂直，P點縱坐標是，代入二次函數表達式即可解得．

解：（1）設直線BC的解析式為：y＝mx+n，有：

，

解得：m＝1，n＝﹣3；

∴直線BC：y＝x﹣3．

將點B、C的坐標代入y＝x2+bx+c中，得：

，

解得：b＝﹣2，c＝﹣3；

∴拋物線：y＝x2﹣2x﹣3．

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，所以點P必在OC的垂直平分線上，則點P的縱坐標為﹣，代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得：

﹣＝x2﹣2x﹣3，

解得 x1＝ ，x2＝ （舍去）

∴點P