Question

（2013•鎮(zhèn)江）如圖，五邊形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，則五邊形ABCDE的面積等于

13 3

4

．

Answer 1

分析：延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)F，作AG∥DE交DF于點(diǎn)G，四邊形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等邊三角形，四邊形AGDE是平行四邊形，求得等腰梯形AFDE的面積和△BCF的面積，二者的差就是所求五邊形的面積．

解答：解：延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)F，作AG∥DE交DF于點(diǎn)G．
∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，
∴四邊形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等邊三角形，四邊形AGDE是平行四邊形．
設(shè)BF=x，
∵在直角△BCF中，∠BCF=90°-∠F=30°
∴FC=2x，
∴FD=2x+1．
∵平行四邊形AGDE中，DG=AE=2，
∴FG=2x-1，
∵△AFG是等邊三角形中，AF=FG，
∴x+1=2x-1，
解得：x=2．
在直角△BCF中，BC=BF•tanF=2

3

，
則S_△BCF=

1

2

BF•BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
作AH⊥DF于點(diǎn)H．
則AH=AF•sinF=3×

3

2

=

3 3

2

，
則S_梯形AFDE=

1

2

（AE+DF）•AH=

1

2

×（2+5）•

3 3

2

=

21 3

4

．
∴S_{五邊形ABCDE}=S_梯形AFDE-S_△BCF=

21 3

4

-2

3

=

13 3

4

．
故答案是：

13 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確求得BF的長(zhǎng)是關(guān)鍵．