Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，點在第一象限，為等邊三角形，，垂足為點．，垂足為．

（1）求OF的長；

（2）作點關于軸的對稱點，連交于E，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）2.

【解析】

（1）先過點B作BH⊥OA，垂足為F．由等腰三角形三線合一的性質可知OF＝AF＝4、BC＝AC，根據等邊三角形的性質可得：∠BOF＝60°，根據特殊銳角三角函數值可得FB＝，從而得到點B的坐標為（4，），再根據中點坐標公式可得點C的坐標為（6，），從而得到OF的長度；
（2）連接CD，交OB于G．由關于y軸對稱的點的坐標特點可知：CD∥OA，D（6，），從而得到DC＝12，由題意可知△BCG為等邊三角形，從而得到CG＝4，然后可求得DG＝124＝8＝OA，依據AAS可證明△DEG≌△AEO，由全等三角形的性質可知OE＝EG，從而求得OE的長度．

解：（1）如圖所示：過點B作BH⊥OA，垂足為H．

∵OB＝AB，BH⊥OA，
∴OH＝AH＝4．
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠BOH＝60°．
∴HB＝OBsin60°＝8×＝．
∴點B的坐標為（4，）．
∵AO＝OB，OC⊥AB，
∴BC＝AC．
由中點坐標公式可知點C的坐標為（6，）．
∴OF＝6；
（2）如圖所示：連接CD，交OB于G．

∵點C與點D關于y軸對稱，
∴CD∥OA，點D（6，）．
∴△BCG為等邊三角形，
∴CG＝4，CD＝12．
∴DG＝124＝8＝OA．
在△DEG和△AEO中，

∴△DEG≌△AEO（AAS），
∴OE＝EG＝OG，
∵BG＝BC＝4，
∴OG＝4，
∴OE＝2．