Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC 和等邊△BPE，點(diǎn) P 在 BC 的延長(zhǎng)線上，EC 的延長(zhǎng)線交 AP 于點(diǎn) M，連接 BM；下列結(jié)論：①AP＝CE；②∠PME＝60°；③BM 平分∠AME；④AM+MC＝BM，其中正確的有____________________（填序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

分別利用全等三角形的判定方法以及其性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角以及對(duì)應(yīng)邊關(guān)系進(jìn)而分別分析得出答案．

證明：①∵等邊△ABC 和等邊△BPE，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE， 在△APB 和△CEB 中

∴△APB≌△CEB （SAS），

∴AP＝CE，故此選項(xiàng)正確；

②∵△APB≌△CEB，

∴∠APB＝∠CEB，

∵∠MCP＝∠BCE，

則∠PME＝∠PBE＝60°，故此選項(xiàng)正確；

③作 BN⊥AM 于 N， BF⊥ME 于 F，

∵△APB≌△CEB，

∴∠BPN＝∠FEB，

在△BNP 和△BFE 中，

∵

∴△BNP≌△BFE（AAS），

∴BN＝BF，

∴BM 平分∠AME，故此選項(xiàng)正確；

④在 BM 上截取 BK＝CM，連接 AK． 由②知∠PME＝60°，

∴∠AMC＝120°

由③知：BM 平分∠AME

∴∠BMC＝∠AMK＝60°

∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM

∴∠ACM＝∠ABK，

在△ABK 和△ACM 中

∴△ACM≌△ABK（SAS），

∴AK＝AM，

∴△AMK 為等邊三角形，則 AM＝MK， 故 AM+MC＝BM，故此選項(xiàng)正確；故答案為：①②③④．