Question

【題目】根據要求回答問題

（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①當點D在AC上時，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結論；
②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．

（2）當△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的位置關系仍然成立？不必說明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①結論：BD=CE，BD⊥CE；

②結論：BD=CE，BD⊥CE…1分

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分

在△ABD與△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

延長BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE

（2）

解：結論：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°

【解析】（1）①BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；
②BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長BD交AC于F，交CE于H）BH構建對頂角∠ABF=∠HCF，再根據三角形內角和定理證得∠BHC=90°；（2）根據結論①、②的證明過程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）時，該結論成立了，所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適．