Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l的解析式為y=

3

3

x，關于x的一元二次方程2x²-2（m+2）x+（2m+5）=0（m＞0）有兩個相等的實數根．
（1）試求出m的值，并求出經過點A（0，-m）和D（m，0）的直線解析式；
（2）在線段AD上順次取兩點B、C，使AB=CD=

3

-1，試判斷△OBC的形狀；
（3）設直線l與直線AD交于點P，圖中是否存在與△OAB相似的三角形？如果存在，請直接寫出；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得△=0得出m值，然后可求出點A，D的坐標，設直線AD的解析式為y=kx+b，把已知坐標代入可求得解析式；
（2）作OE⊥AD于E，利用勾股定理求出AD，繼而求出OE的長．然后根據三角函數證明△OBC為等邊三角形；
（3）利用相似三角形的判定可知道存在與△OAB相似的三角形．

解答：解：（1）由題意得△=[-2（m+2）]²-4×2×（2m+5）=0，
∴m=±

6

，
∵m＞0，
∴m=

6

，
∴點A（0，-

6

）、D（

6

，0），
設經過A、D兩點的直線解析式為y=kx+b，
則

b=- 6 0= 6 k+b

，
解得

k=1 b=- 6

，
∴y=x-

6

；

（2）作OE⊥AD于E，
由（1）得OA=OD=

6

，
∴AD=

OA2+OD2

=2

3

，
∴OE=AE=ED=

1

2

AD=

3

，
∵AB=CD=

3

-1，
∴BE=EC=1，
∴OB=OC，
在Rt△OBE中，tan∠OBE=

OE

BE

=

3

，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC為等邊三角形；

（3）存在，△ODC、△OPC、△PAO．

點評：本題考查的是相似三角形的判定定理，一次函數的綜合運用，等邊三角形的性質以及三角函數的有關知識．