Question

【題目】（1）方法選擇：如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD，AB＝BC＝AC．求證：BD＝AD+CD．

小穎認為可用截長法證明：在DB上截取DM＝AD，連接AM…

小軍認為可用補短法證明：延長CD至點N，使得DN＝AD…

請你選擇一種方法證明．

（2）類比探究：（探究1）如圖②，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD，BC是⊙O的直徑，AB＝AC．試用等式表示線段AD，BD，CD之間的數量關系，井證明你的結論．

（探究2）如圖③，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，則線段AD，BD，CD之間的等量關系式是　 　．

（3）拓展猜想：如圖④，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，BC：AC：AB＝a：b：c，則線段AD，BD，CD之間的等量關系式是　 　．

Answer 1

【答案】（1）選截長法，見解析；（2）探究1 ：BD＝CD+AD，見解析；探究2： BD＝CD+2AD；（3）BD＝CD+AD．

【解析】

（1）方法選擇：根據等邊三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據全等三角形的性質得到BM=CD，于是得到結論；

（2）類比探究：探究1：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據等腰直角三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=45°，過A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據全等三角形的性質得到結論；

探究2：如圖③，根據圓周角定理和三角形的內角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據直角三角形的性質得到MD=2AD，根據相似三角形的性質得到BM=CD，于是得到結論；

（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據相似三角形的性質得到BM=CD，DM=AD，于是得到結論．

（1）方法選擇：∵AB＝BC＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，

如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，

∵∠ADB＝∠ACB＝60°，

∴△ADM是等邊三角形，

∴AM＝AD，

∵∠ABM＝∠ACD，

∵∠AMB＝∠ADC＝120°，

∴△ABM≌△ACD（AAS），

∴BM＝CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD；

（2）類比探究：探究1：如圖②，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

過A作AM⊥AD交BD于M，

∵∠ADB＝∠ACB＝45°，

∴△ADM是等腰直角三角形，

∴AM＝AD，∠AMD＝45°，

∴DM＝AD，

∴∠AMB＝∠ADC＝135°，

∵∠ABM＝∠ACD，

∴△ABM≌△ACD（AAS），

∴BM＝CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD；

探究2：如圖③，

∵若BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，

過A作AM⊥AD交BD于M，

∵∠ADB＝∠ACB＝60°，

∴∠AMD＝30°，

∴MD＝2AD，

∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，

∴△ABM∽△ACD，

∴，

∴BM＝CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+2AD；

故答案為：BD＝CD+2AD；

（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；

理由：如圖④，

∵若BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

過A作AM⊥AD交BD于M，

∴∠MAD＝90°，

∴∠BAM＝∠DAC，

∴△ABM∽△ACD，

∴，

∴BM＝CD，

∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，

∴△ADM∽△ACB，

∴，

∴DM＝AD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD．

故答案為：BD＝BM+DM＝CD+AD．