Question

【題目】如圖乙，和是有公共頂點的等腰直角三角形，，點為射線，的交點．

（1）如圖甲，將繞點旋轉，當、、在同一條直線上時，連接、，則下列給出的四個結論中，其中正確的是哪幾個 ；（回答直接寫序號）

①；②；③；④

（2）若，，把繞點旋轉．

①當時，求的長；

②直接寫出旋轉過程中線段的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）①②③；（2）①或；②長的最小值是，最大值是．

【解析】

(1)①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，進而得出結論；③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出結論；④△BDE為直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出結論．

(2)①分兩種情形a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB-AE=3，由△PEB∽△AEC，得，由此即可解決問題．b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=9，解法類似；

②a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最小，分別求出PB即可．

(1)解：如圖甲：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∴①正確；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°，
∴∠ACE+∠AFB=90°．
∵∠DFC=∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴BD⊥CE，∴②正確；
③∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，∴③正確；
④∵BD⊥CE，
∴BE2=BD2+DE2，
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴DE2=2AD2，BC2=2AB2，
∵BC2=BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2(AD2+AB2)，∴④錯誤．
故答案為①②③．

(2)①解：a．如圖2中，當點在上時，．

∵，

∴，

同(1)可證，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

b．如圖3中，當點在延長線上時，,

∵，

∴，

同(1)可證，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，綜上，或；

②解：a．如圖4中，以為圓心為半徑畫圓，當在下方與相切時，的值最小．

理由：此時最小，由(1)可知是直角三角形，斜邊為定值，最小，因此最小，

∵，

∴，

由(1)可知，，

∴，，

∴，且AD=AE=3，

∴四邊形是正方形，

∴，

∴；

b．如圖5中，以為圓心為半徑畫圓，當在上方與相切時，的值最大．

理由：此時最大，因此最大，(同理，是直角三角形，斜邊為定值，最大，因此最大)

∵，

∴，

由(1)可知，，

∴，，

∴，且AD=AE=3，

∴四邊形是正方形，

∴，

∴．

綜上所述，長的最小值是，最大值是．